最小花费（乘法最短路）

题意

给定一个无向图，边权为$w_i(0\le w_i\le 1)$。定义两点之间的距离为路径上所有权值的乘积。求两点之间的最长路。

思路

假设距离为$w_1{w}_2\dots w_k$，可以对其取对数处理，即$\log w_1{w}_2\dots w_k=\log w_1+\log w_2+\dots \log w_k$。这样就将乘法转变为了加分，为了求最长路，可以作取相反数处理。因为$w_i(0\le w_i\le 1)$，所以$\log w_i\le 0$，取相反数后全是非负数，所以可以采用Dijkstra算法。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 2010;

int n,m,S,T;
double g[N][N];
double dist[N];
bool st[N];

void dijkstra()
{
    
    
    dist[S] = 1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        int t = -1;
        for(int j=1;j<=n;j++){
    
    
            if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]<dist[j])){
    
    
                t = j;
            }
        }
        st[t] = true;
        for(int j=1;j<=n;j++){
    
    
            dist[j] = max(dist[j],dist[t]*g[t][j]);
        }
    }
}

int main()
{
    
    
    scanf("%d%d",&n,&m);
    while(m--){
    
    
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        double z = (100.0 - c) / 100;
        g[a][b] = g[b][a] = max(g[a][b], z);
    }
    scanf("%d%d",&S,&T);
    dijkstra();
    printf("%.8f\n",100.0/dist[T]);
    return 0;
}

收获

• 求最长路，可以将边权取反，做最短路。其实在写代码的过程中，不一定真的取反，只需要将三角不等式不等号反过来，$min$改成$max$即可。
• 对于乘法来说，权值如果是小于等于$1$，那么相当于加法的负边权；如果是大于$1$的话，就是正边权。