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题目:
对于例2.3计算CRLB,它与给出的结果一致么?
解答:
首先回顾例2.3:MVU估计量不存在的例子
如果PDF的形式随θ变化,那么可以预计,最佳估计量也将随θ变化。假定我们有两个独立的x[0]和x[1]的观测,且PDF为:
两个估计量
首先我们可以得到:
因此两个估计,都是无偏的。然后分别计算两个估计的方差,得到:
带入已知条件,分别得到:
显然,当
时,
,而
是,
,因此不存在唯一的MVU估计。
现用CRLB性质去进一步说明,由题目条件,可以得到:
因此,得到似然函数:
进一步得到:
显然有:
因此,满足正则条件。那么进一步得到:
因此可以得到:
当θ≥0 时:
而当θ<0 时:
通过对比可以发现,当 时,
可以达到CRLB下限,而当
时,
可以达到CRLB下限,但不管是
还是
都不能在整个θ 区间上达到最小方差无偏估计。因此,根据题目中的条件,不存在单一的最小方差无偏估计量。