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题目：
证明
上式推广了习题3.11的结果。另外，该式提供了方差的另一个下限，尽管通常这个下限是达不到的。在什么条件下能够达到新的下限？
提示：
将Cauchy-Schwarz不等式应用到
,其中
是除第i个元素为1以外其他元素全为0的矢量。正定矩阵A的平方根定义为这样一个矩阵：这个矩阵与A有相同的特征矢量，但它的特征值是A的特征值的平方根。
解答
定义根号运算矩阵:
首先，我们需要得到正定矩阵
和
的根号运算矩阵：
为正定矩阵，因此存在n个大于零的特征值
满足：
即：
其中：
于是得到：
进一步由于
为对称矩阵，因此：
对比上式后，可以得到：
或者：
即的特征向量矩阵
是正交的。
而
其中：
如果特征值矩阵的开根号运算表示为：
那么定义矩阵
满足：
那么：
因此矩阵
可以表示为：
同样矩阵
定义为：
那么同理：
应用向量形式的Cauchy-Schwarz不等式
定义列向量
：第i个元素为1，其他元素都为0，那么可以得到：
然后用Cauchy-Schwarz不等式的向量形式，即在n维空间中的任意向量
和
，那么：
当且仅当
和
线性相关时，等号成立。
其中，
为向量内积运算，可以表示为：
在上式中，由于
和
是n*n的矩阵，而
是n*1的向量，因此
和
都是n*1维向量，因此，如果令：
那么
而
代入后得到：
因此，最终有
证明完毕。
等号成立条件
向量形式的Cauchy-Schwarz不等式，等号成立的条件是
和
线性相关，因此存在不为零的数k，使得：
即：
因此：
根据前面的性质：
因此，可以得到：
如果不同的
，对应不同的系数
，因此可以得到：
因此，此种情况下，Cauchy-Schwarz不等式中等号成立时，
必须为对角阵。