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题目
证明：当且仅当H的列是线性独立时，
的逆存在。这个问题等价于当且仅当H的列线性独立时，是正定的，因而也是可逆的。
解答
线性独立定义
对于矩阵H，它的列向量h1,h2,…,hp的某个线性组合可以表示为：
如果记向量：
那么上式可以进一步表示为：
如果只有当x1=x2=…=xp=0时，上述线性组合才为0，即：
那么我们认为矩阵H的列向量线性独立，此时当
时，
具体可以参考：
正定矩阵定义
给定一个大小为n*n的实对称矩阵
，若对于任意的非零向量
，有
恒成立，则矩阵A是一个正定矩阵。
参考：
题目的证明
当
的列向量线性独立时，对于任意
，
因此向量模的平方，即：
因此，对于任意
根据正定矩阵定义，得到
一定是正定的。
根据正定矩阵一定可逆，得到 正定时，一定可逆。
正定矩阵具有可逆性，参考：
线性代数笔记27——对称矩阵及正定性 - 我是8位的 - 博客园
另外，如果
正定，那么对于任意的非零向量，存在：
因此可以得到，对于任意的非零向量x，存在
，进一步又可以得到H的列向量之间一定线性无关。
因此，最终我们可以得到：
是正定的，与H的列向量之间一定线性无关是等价命题。