题目：
在例4.2中，假定我们在
处存在正弦分量，由（4.12）式给出的模型为：
利用恒等式：
其中：
我们可以将模型重写为：
对于
和
采用MVU估计量，所以正弦信号的功率估计为：
定义可检测性的测度为：
比较当信号出现时的测度和只有噪声出现（即
）时的测度，能够使用功率的估计来判定信号是否出现么？
解答
根据公式（4.12），得到一般情况下采集信号的表达式为：
其中
和
是每个归一化频率
处的系数。
根据本题给出的条件，仅在
这一处存在信号，因此其他频率分量前的系数
和
都为0，只有
处的系数不为0。因此单输入频率情况下，可以进一步得到：
根据（4.14）得到：
(4.15)得到：
（4.16）得到：
由于协方差矩阵是对角矩阵，因此估计量
，
之间都是相互独立的。
接下来根据定义，计算可检测性的测度。
首先，根据定义得到：
根据高阶矩的性质，如果
那么
具体可以参考：
统计信号处理基础 习题解答3-14_weixin_43270276的博客-CSDN博客
而
因此：
因此：
最终，得到可检测性的测度：
因此，当该频率上没有信号时，即：
，可以得到此时：
而只要当
或者 
，那么：
因此，该结果表明，使用功率的估计可以用来判定信号是否出现。
另外，当信号功率真的接近与噪声功率时，可以通过增加采样点数，来提高测度数值。
综上，需要在一定的采样点数情况下，计算上述测度公式，然后判断该数值是接近于1还是远大于1，就可以用来判定该频率处是否真的有信号出现。